証明

最近流行のインドの暗算方式。
例えば12*18。
10の位の「1」と1にプラス1した「2」をかける。と「2」になる。
1の位の「2」と｢8｣をかける。と「16」になる。
これらを並べて、答えは「216」になる、というもの。
これは、10の位が共通で、1の位を足すと10になる時に成立する。
答えは、「10の位の数」×「10の位の数+1」の答えが100の位(と1000の位)に、
それぞれの数の1の位同士を掛けたものの答えが1の位(と10の位)になる。
ちょっくら証明をしてみました。

まず、一方の数を10a+bとおく。
すると、もう一方の数は、10a+(10-b)となる。
この2数の掛け算は、(10a+b){10a+(10-b)}となる。
これを展開していく。
(10a+b){10a+(10-b)}
=100a^2+10ab+10a(10-b)+b(10-b)
=100a^2+100a+b(10-b)
=a(a+1)*100+b(10-b)

ここで終わりです。
a(a+1)が、「10の位の数」×「10の位の数+1」を表しています。
b(10-b)が、1の位同士を掛けたものです。
こんな方式があるなんて知らなかったし、聞いても疑心暗鬼だったけど、
証明できてスッキリ！数学は素晴らしい！！！